» » Masalah Numerik

Masalah Numerik

METODE NUMERIK

Pengertian Metode Numerik

Metode Numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematik dengan cara operasi hitungan (arithmetic). Metode Numerik menurut beberapa ahli :
  • Chapra dan Chanale
Metode numerik adalah teknik di mana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika.
  • Ibraheem dan Hisyam
Metode numerik adalah teknik -teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah matematika agar dapat diselesaikan hanya dengan operasi hitungan, yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi.
  • Rochmad
Metode numerik adalah suatu teknik untuk memformulasikan masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmetika yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi.
Alasan menggunakan menggunakan metode numerik dalam memecahkan masalah yang dihadapi, antara lain :
  1. Metode numerik merupakan suatu teknik untuk menyelesaikan masalah matematika yang efektif dan efisien. Dengan bantuan komputer ia sanggup menangani masalah yang rumit dan melibatkan perhitungan y ang luas, misalnya untuk memecahkan masalah solusi suatu persamaan tak linear, sistem persamaan yang besar, dan permasalahan lainnya termasuk dalam teknik dan sosial.  Masalah yang sering sulit atau bahkan tidak mungkin dapat diselesaikan secara analitis dapat diselesaikan dengan metode numerik.
  2. Saat ini terdapat berbagai paket program komputer (misalnya exel, maple, matlab, atau program paket lainnya) yang tersedia dan diperdagangkan sehingga mudah didapat yang dalam pengoperasiannya mencakup metode numerik. Dengan demikian, pemecah masalah tinggal menyesuaikan dengan karakteristik program paket tersebut dengan algortima yang digunakan dalam pemecahan masalah.
  3. Apabila masalah yang dihadapi sulit diselesaikan dengan bantuan program paket komputer, maka pemecah masalah dapat menggunakan program komputer (misalnya basic, pascal, fortran, atau  program komputer lainnya). Jika pemecah masalah mahir mendesain program sendiri, maka pemecah masalah dapat lebih leluasa dalam menggunakan metode numerik untuk memecahka n masalah yang dihadapinya.
  4. Di sisi lain, metode numerik merupakan semacam sarana  yang efisien untuk mengenal karakteristik komputer dan mendesain algoritma, diagram alur dan menulis program komputer sendiri.
Tahap-Tahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik yang dilakukan dakam pemecahan persoalan dunia nyata dengan metode numerik, yaitu:
  1. Pendefinisian masalah (apa yang diketahui dan apa yang diminta).
  2. Pemodelan, Persoalan dunia nyata dimodelkan ke dalam  persamaan matematika.
  3. Penyederhanaan model, Model matematika yang dihasilkan dari tahap sebelumnya mungkin saja terlalu kompleks, yaitu memasukkan banyak peubah (variable) atau parameter. Semakin kompleks model matematikanya, semakin rumit penyelesaiannya. Mungkin beberapa andaian dibuat sehingga beberapa parameter dapat diabaikan. Model matematika yang diperoleh dari penyederhanaan menjadi lebih sederhana sehingga solusinya akan lebih mudah diperoleh.
  4. Formulasi numerik, Setelah model matematika yang sederhana diperoleh, tahap selanjutnya adalah memformulasikannya secara numerik.
  5. Pemrograman, Tahap selanjutnya adalah menerjemahkan algoritma ke dalam program komputer dengan menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang dikuasai.
  6. Operasional, Pada tahap ini, program komputer dijalankan dengan data uji coba sebelum   data yang sesungguhnya.
  7. Evaluasi, Bila program sudah selesai dijalankan dengan data yang sesungguhnya, maka hasil yang diperoleh diinterpretasi. Interpretasi meliputi analisis hasil run dan membandingkannya dengan prinsip dasar dan hasil-hasil empirik untuk menaksir kualitas solusi numerik, dan keputusan untuk menjalankan kembali
    program dengan untuk memperoleh hasil yang lebih baik.

Manfaat Metode Numerik

  • Mampu menangani sistem persamaan  besar, Ketaklinieran dan  geometri  yang  rumit, yang dalam masalah rekayasa tidak mungkin dipecahkan  secara  analitis.
  • Mengetahui  secara  singkat  dan jelas teori matematika  yang   mendasari  paket   program.
  • Mampu merancang program sendiri sesuai  permasalahan  yang  dihadapi  pada  masalah  rekayasa.
  • Metode numerik  cocok untuk  menggambarkan  ketangguhan dan keterbatasan komputer dalam  menangani masalah rekayasa yang tidak dapat  ditangani  secara  analitis.
  • Menangani galat (error) suatu nilai  hampiran (aproksimasi) dari  masalah  rekayasa yang  merupakan  bagian  dari  paket  program  yang  bersekala  besar.
  • Menyediakan  sarana  memperkuat  pengertian  matematika. Karena  salah  satu  kegunaannya  adalah  menyederhanakan  matematika  yang lebih  tinggi  menjadi  operasi-operasi  matematika  yang  mendasar.
Prinsip-Prinsip Metode Numerik
Prinsip-prinsip metode numerik antara lain :
  • Metode numerik digunakan jika metode analitiktidak dapat digunakan lagi
  • Metode numerik merupakan pendekatan untuk mendapatkan pemecahan masalah yang dapat dipertanggung jawabkan secara analitik
  • Pendekatan metode numerik merupakan analisis matematis
  • Metode numerik terdiri atas algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah karena berasal dari alogaritma pendekatan, maka Metode Numerik ini akan memakai iterasi (pengulangan)
  • Nilai kesalahan merupakan hal paling utama untuk mengetahui seberapa baik metode yang digunakan.

Pemakaian Metode Numerik

Pemakaian Metode Numerik biasanya dilakukan untuk menyelesaikan persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan menggunakan metode analitik, yaitu :
  1. Menyelesaikan persamaan non linier
  2. Menyelesaikan persamaan simultan
  3. Menyelesaikan differensial dan integral
  4. Interpolasi dan Regresi
  5. Menyelesaikan persamaan differensial
  6. Masalah multi variable untuk menentukan nilai optimal yang tak bersyarat

Tujuan Metode Numerik

Sebelum komputer digunakan untuk penyelesaian komputasi, dilakukan dengan berbagai metode yang memiliki kendala-kendala. Metode yang digunakan antara lain:
  • Metode Analitik, Solusi ini sangat berguna namun terbatas pada masalah sederhana. Sedangkan Masalah real yang komplek dan non linier tidak dapat diselesaikan.
  • Metode Grafik,  metode ini digunakan Sebagai pendekatan penyelesaian yang kompleks. Kendalanya bahwa metode ini Tidak akurat, sangat lama, dan banyak membutuhkan waktu.
  • Kalkulator dan Slide Rules, Penyelesaian numerik secara manual. Cara ini cukup lama dan mungkin bisa terjadi kesalahan pemasukan data.
Penggunaan metode numerik diharapkan dapat mengatasi berbagai kelemahan-kelemahan metode yang ada sebelumnya. Dapat dipahami pula bawa pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika. Persamaan ini sulit diselesaikan dengan model analitik sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numerik. Dengan metode numerik, manusia terbebas dari hitung menghitung manual yang membosankan . Sehinggga waktu dapat lebih banyak digunakan untuk tujuan yang lebih kreatif, seperti penekanan pada formulasi problem atau interpretasi solusi dan tidak terjebak dalam rutinitas hitung menghitung. Metode numerik hanya bisamemberikan solusi yang mendekati atau menghampiri solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran ( approximationsolution). Pendekatan solusi ini tentu saja tidak tepat sama dengan solusisejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Solusi tersebut disebut solusigalat (error). Semakin kecil galat yang diperoleh berarti semakin dekatsolusi hampiran yang diperoleh dengan solusi sejatinya.

Macam-Macam Metode Numerik

  1. METODE NEWTON-RAPHSON
Dalam analisis numerik, metode Newton-Raphson merupakan metode yang paling dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar fungsi riil. Metode Newton-Raphson sering konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai “cukup dekat” dengan akar yang diinginkan. Namun bila iterasi dimulai jauh dari akar yang dicari, metode ini dapat meleset tanpa peringatan. Implementasi metode ini biasanya mendeteksi dan mengatasi kegagalan konvergensi. Metode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar – akar dari suatu persamaan.
  1. METODE ITERASI TITIK TETAP
Metode iterasi titik tetap adalah metode yang memisahkan x sedemikian sehingga f (x) = 0 ekuivalen dengan x = g(x). Selanjutnya p adalah suatu akar dari f (x) jika hanya jika p adalah suatu titik tetap dari g (x).
Aplikasi-Aplikasi Metode Numerik
Beberapa contoh aplikasi metode numerik :
  • Aplikasi Metode Numerik dengan Metode Simpson
Metode simpson merupakan metode integral numerik yang menggunakan fungsi polinominal dengan order lebih tinggi. Metode simpson menggunakan tiga titik data (polinimonal order 2) dan simpson menggunakan empat titik data (polinominal order 3). Jarak antara titik data tersebut adalah sama.
  • Aplikasi Metode Numerik dengan Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Pada metode eliminasi Gauus‐Jorda kita membuat nol elemen‐elemen dibawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen‐elemen lainnya nol).

Referensi

Langganan: Posting Komentar ( Atom )